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title: "6k 좌표계 — 소수의 체"
url: https://mapncompass.com/ko/geon/6k/
lang: ko
geuk: "6k 좌표계는 체가 완전히 정의된 소수에서 소거와 생존을 재는 UFoE의 통제 실험이다."
updated: 2026-10-09
author: "Young Kang (Director)"
models: ["Claude Opus 5.5"]
license: CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)
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# 6k 좌표계 — 소수의 체

> 6k 좌표계는 체가 완전히 정의된 소수에서 소거와 생존을 재는 UFoE의 통제 실험이다.

> "소수는 어떤 주기와 패턴으로 등장하는가."
> — 6k 좌표계 원연구의 첫 질문

이 페이지는 『6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현』 v8.4 통합 개정판(2026-09-06)의 내용을 옮긴 것입니다. 수학자가 아닌 한 사람이 1을 가운데에 두고 자연수를 펼쳐 본 그림에서 시작해, 2026년 2월의 "Prime Galaxy"를 거쳐 일곱 달 동안 여러 번 고쳐 쓴 원고입니다. 좌표계를 어떻게 짓는지, 그 위에서 무엇을 셀 수 있는지, 무엇이 증명이고 무엇이 측정이며 무엇이 아직 예측인지, 그리고 판을 거듭하며 무엇을 거두었는지를 차례로 적습니다. 수식은 되도록 말로 풀고, 작은 예를 손으로 따라가 봅니다.

## 곤 — 어디서 왔는가

### 1을 가운데에 둔 첫 그림

처음 그림은 단순했습니다. 1을 한가운데 두고 작은 수부터 큰 수까지 위·아래·왼쪽·오른쪽으로 펼친 다음, 쌍둥이 소수(차이 2), 사촌 소수(차이 4), 섹시 소수(차이 6)를 색깔별 호로 이었습니다. v7.14 원고는 이 스케치를 "모든 것이 시작된 그림"이라 부릅니다.

1을 가운데에 둔 데에는 이유가 있었습니다. 1은 소수도 합성수도 아니고, 곱셈의 항등원이어서 모든 분해의 출발점입니다. 저자에게 그 자리는 UFoE가 말하는 [극](/ko/glossary/#geuk), 곧 비어 있는 중심과 같은 꼴로 보였습니다.

### Prime Galaxy — "좌표계가 틀렸다"

2026년 2월 27일의 첫 원고 「Prime Galaxy」는 이렇게 시작합니다.

> "소수는 무작위가 아니었다. 좌표계가 틀렸다."
> — Prime Galaxy v2(2026-02-27)의 부제

울람 나선이나 색스 나선은 수의 크기가 자리를 정합니다. Prime Galaxy는 수의 **역할**이 자리를 정하게 했습니다. 6의 배수를 "다리(bridge)"로 놓고, 그 양쪽 자리(seat)가 소수인지를 이진 상태로 읽는 "Seat Machine"을 만들었습니다. 쌍둥이(Twin), 나홀로(Solo), 빈자리(Empty)라는 이름이 여기서 나왔고, 60,000까지 세어 소수정리, Hardy–Littlewood 예측, 소수 간격의 성장과 어긋나지 않음을 확인했습니다. 이 원고는 스스로를 "엄밀한 증명이 아닌 실험적·설명적 모형"이라 적었습니다.

다음 날(2월 28일) 원고는 지금까지 남아 있는 식 하나를 얻었습니다. 정수의 규모를 가로 반축으로, 체를 통과하는 비율을 세로 반축으로 두는 타원, 이른바 **소수타원방정식**입니다. 그때의 원고는 이 식이 "보정 상수 없이 소수정리를 자동으로 재현한다", "소수정리는 이 방정식의 입력이 아니라 출력이다"라고 적었습니다. 이 문장들은 뒤에 고쳐집니다.

### v7 — 일곱 현상의 정렬

2026년 5월의 v7 계열(v7.7 ~ v7.14)은 이름을 "6k 좌표계"로 바꾸고 큰 그림을 그렸습니다. 1을 빈 중심에, 6k를 왼쪽 수평 다리에, 6k+1을 위로, 6k−1을 아래로, 나머지 합성수를 오른쪽의 "합성수 은하"로 펼친 T자형 배치입니다. 그 위에 소수정리, 리만 가설의 임계선, Erdős의 primitive set 문제, 소수 간격, 콜라츠 경로, 체비쇼프 편향, π(x) − li(x)의 진동이라는 일곱 현상이 "같은 좌표계의 다른 측면으로 정렬되어 관찰된다"고 적었습니다.

> "좌표계가 먼저이고, 패턴은 그 위에서 관찰되는 결과이다."
> — 6k 좌표계 v7.14(2026-05-11)

v7은 정리를 새로 증명하지 않는다고 분명히 적었지만, 몇 가지 큰 표현을 함께 담고 있었습니다. 축의 선택이 모두 산술의 결과라는 주장, 소수 분포가 카오스·프랙탈과 같은 구조라는 유비, 체가 √N에서 멈추는 것과 임계선 Re(s) = 1/2이 같은 자리에 놓인다는 관찰, 작은 k에서 타원이 "거의 원형"이라는 설명입니다. 이 표현들은 v8에서 하나씩 철회되거나 좁혀졌습니다.

### v8 — 재작성의 기록

2026년 9월 5–6일에 원고는 여러 갈래로 다시 쓰였습니다.

| 판 | 날짜 | 무엇을 더했는가 | 무엇을 거두거나 좁혔는가, 왜 |
| --- | --- | --- | --- |
| Prime Galaxy | 2026-02-27 | Seat Machine, Twin·Solo·Empty, 60,000까지 실측 | "좌표계가 틀렸다"는 출발 선언. 이후 "표현의 선택"으로 낮아짐 |
| 타원 원고 | 2026-02-28 ~ 03-01 | 소수타원방정식 | "소수정리를 출력한다"를 3월 1일에 "같은 밀도 감소를 독립적으로 재현한다"로 낮춤. 체의 곱과 실제 소수 비율은 상수가 다름 |
| v7.7 ~ v7.14 | 2026-05-02 ~ 05-11 | T자형 배치, 일곱 현상의 정렬, 콜라츠 경로 | 이때의 큰 표현들은 v8에서 정리됨 |
| v8.0 (GPT판) | 2026-09-05 | 총량·비대칭·동시 생존의 구분, 최소 소인수 원장, 간격 항등식 | 셀 상태와 집계 정보를 분리 |
| v8.1 | 2026-09-05 | Hawkins 무작위 체로 "재귀적 자기소거와 로그" 검토 | 질문을 "생존자가 다음 소거자가 될 때 무엇이 나오는가"로 다시 세움 |
| v8.2 | 2026-09-05 | 두 갈래를 통합, 기대값의 양쪽 경계, 10⁸까지 독립 검산 | 평균장 근사를 정확한 확률로 쓴 것, "재귀만으로 로그", 타원 "거의 원형" 등 철회 |
| v8.3 | 2026-09-06 | 곱과 합의 대비, jumping champion 문헌 연결 | 수학 밖의 유비 문단을 본문에서 삭제 |
| v8.4 | 2026-09-06 | 일반 소거 강도에 대한 명제 3.3 | "재귀가 감쇠를 정확히 한 단계 늦춘다"를 충분조건이 붙은 점근 관계로 좁힘 |

v8.4의 에필로그는 이 과정을 이렇게 적습니다.

> "그 풍경의 이름을 멱함수라고 불렀다가 로그와 다르다는 것을 알게 되었다. 다시 재귀가 로그를 만든다고 적었다가, 소거 강도까지 함께 보아야 한다는 것을 알게 되었다."
> — 6k 좌표계 v8.4, 에필로그

> "이 원고에서 정정은 탐구의 반대가 아니다. 보이는 것을 더 정확하게 말하는 과정이다."
> — 같은 곳

원고는 사람과 여러 AI의 협업으로 쓰였고, 협업 기록에 역할을 나누어 적었습니다. 1을 가운데 둔 배치와 네 방향의 시각은 Young Kang의 구상이고, 정의·증명·검산의 전개는 판마다 다른 AI 모델과 함께 했습니다. 원고는 "여러 모델이 같은 문장에 동의했다는 것은 참의 기준이 아니다. 남겨야 할 것은 정의, 출처, 증명, 반례, 실행 가능한 코드와 계산 결과다"라고 적어 둡니다.

## 감 — 무엇이 원리인가

### 체가 처음 지우는 자리

[에라토스테네스의 체](/ko/glossary/#elimination)는 소수의 정의를 순서대로 적용하는 절차입니다. 2를 확정하고 그 배수를 지웁니다. 다음에 남은 3을 확정하고 같은 일을 합니다. 그다음은 5, 7, 11입니다. **살아남은 수가 다음 단계의 소거 도구가 됩니다.** 원고가 "재귀적 소거"라 부르는 것이 이 구조입니다.

원고는 여기서 작지만 중요한 사실을 짚습니다. 소수 p가 **처음으로 새로** 지우는 합성수는 p²입니다. p보다 작은 수를 곱한 배수(예를 들어 7×5 = 35)는 이미 더 작은 소수(5)가 지웠기 때문입니다. 이 "첫 소거의 자리"가 뒤에 나오는 비대칭의 장부에서 다시 등장합니다.

### 두 줄과 한 셀

2와 3의 배수를 지우고 나면 6으로 나눈 나머지 가운데 1과 5만 남습니다. 그래서 5 이상의 소수는 모두 6k−1 또는 6k+1에 놓입니다. 역은 성립하지 않습니다. 25, 35, 49도 이 두 줄에 있습니다. 두 줄은 "소수의 줄"이 아니라 **소수 후보의 줄**이고, 자연수의 정확히 3분의 1을 차지합니다. 후보의 비율은 늘 1/3이지만, 그 안에서 실제 소수의 비율은 계속 줄어듭니다.

6k 좌표계는 같은 k의 두 후보를 **한 셀**로 묶습니다. 아래 자리에 6k−1, 위 자리에 6k+1을 둡니다. 셀 하나는 네 상태 가운데 하나입니다.

| 상태 | 아래(6k−1) | 위(6k+1) | 예 |
| --- | --- | --- | --- |
| Twin | 소수 | 소수 | (5, 7), (11, 13) |
| Solo Down | 소수 | 합성수 | (23, 25), (47, 49) |
| Solo Up | 합성수 | 소수 | (35, 37), (65, 67) |
| Empty | 합성수 | 합성수 | (119, 121), (143, 145) |

셀마다 세 가지 양을 셉니다. 아래 자리가 소수이면 P₋ = 1, 위 자리가 소수이면 P₊ = 1이라 할 때,

- **M(총량)** = P₋ + P₊: 셀에 남은 소수의 개수
- **A(비대칭)** = P₋ − P₊: 어느 줄이 남았는가. 양수이면 아래 줄 쪽
- **T(동시 생존)** = P₋ × P₊: 두 자리가 함께 남았는가

셀 하나만 보면 M과 A를 알 때 T가 정해집니다. 그러나 셀을 여럿 모으면 사정이 달라집니다. 평균 M과 평균 A만으로는 Twin이 몇 개인지 알 수 없습니다. 네 상태의 비율을 다 복원하려면 총량과 방향에 동시 생존이라는 이차 정보가 더 필요합니다. "평균 밀도 하나가 모든 국소 무늬를 담지 못한다"는 원고의 직관이 여기서 정확한 문장이 됩니다.

### 손으로 따라가 보기 — k = 1부터 10까지

| k | 아래 6k−1 | 위 6k+1 | 상태 | A |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 5 | 7 | Twin | 0 |
| 2 | 11 | 13 | Twin | 0 |
| 3 | 17 | 19 | Twin | 0 |
| 4 | 23 | 25 = 5² | Solo Down | +1 |
| 5 | 29 | 31 | Twin | 0 |
| 6 | 35 = 5·7 | 37 | Solo Up | −1 |
| 7 | 41 | 43 | Twin | 0 |
| 8 | 47 | 49 = 7² | Solo Down | +1 |
| 9 | 53 | 55 = 5·11 | Solo Down | +1 |
| 10 | 59 | 61 | Twin | 0 |

열 셀 안에 Twin 6, Solo Down 3, Solo Up 1, Empty 0이 있습니다. 남은 소수는 2×6 + 3 + 1 = 16개로, 5부터 61까지의 소수 개수와 같습니다. A를 모두 더하면 +2입니다. 61까지 아래 줄의 소수가 위 줄보다 두 개 많다는 뜻입니다.

이 +2가 어디서 왔는지는 지워진 합성수로 셀 수 있습니다. 위 줄에서 지워진 것은 25, 49, 55이고, 아래 줄에서 지워진 것은 35입니다. 3 − 1 = 2입니다. 그리고 위 줄에서 지워진 25와 49는 둘 다 **소수의 제곱**입니다. 6k±1 꼴의 수를 곱하면 같은 부호끼리는 6k+1 줄로, 다른 부호끼리는 6k−1 줄로 갑니다. 그래서 5 이상 소수의 제곱은 **모두 위 줄**에 놓입니다. 위 줄은 체가 처음 새로 지우는 자리(p²)를 늘 떠안습니다.

처음 Empty는 k = 20의 (119, 121)입니다. 119 = 7×17, 121 = 11²입니다. v7은 Empty의 예로 "25와 35의 격자"를 들었지만, 25와 35는 서로 다른 셀(k = 4의 위, k = 6의 아래)에 있습니다. 첫 Empty가 생각보다 늦게 나오는 것은 두 자리가 서로 독립이 아니기 때문인데, 그 이유는 아래 "같은 소수는 두 자리를 함께 지울 수 없다"에서 봅니다.

### 소수타원방정식 — 무엇의 밀도를 그리는가

원고의 이름을 살려 다음을 **소수타원방정식**이라 부릅니다.

X²/(6k)² + Y²/b(k)² = 1, 여기서 b(k) = ∏(1 − 1/p) (5 ≤ p ≤ √(6k)인 소수 p에 대한 곱)

가로 반축은 정수의 규모 6k이고, 세로 반축 b(k)는 "5부터 √(6k)까지의 소수로 나누어지지 않는 비율"입니다. 엄밀히 말하면 b(k)는 고정된 유한 체의 한 주기에서 얻는 **평균 생존 지표**입니다. 고정한 소수들로 나누어지는지만 따지는 마스크를 한 주기 동안 굴려 보면, 중국인의 나머지 정리에 따라 각 줄에서 살아남는 비율이 정확히 이 곱이 됩니다. 독립을 막연히 가정한 근사가 아니라 정확히 센 값입니다.

몇 개를 계산해 보면 이렇습니다.

| 6k | 체에 들어간 소수 | b(k) | 반축의 비 6k : b(k) |
| --- | --- | --- | --- |
| 12 | 없음 | 1 | 12 : 1 |
| 30 | 5 | 0.8 | 37.5 : 1 |
| 120 | 5, 7 | 0.686 | 175 : 1 |
| 1,200 | 5 ~ 31 | 0.459 | 약 2,617 : 1 |

가장 작은 경우인 6k = 12에서도 반축의 비는 12 : 1입니다. 타원은 처음부터 원과 거리가 멉니다. v7이 "소규모에서는 거의 원형"이라고 적은 것은 같은 단위로 그리지 않은 그림에서 온 인상이었습니다. 소수가 체에 하나씩 들어올 때마다 b(k)는 계단처럼 내려가고, 계단 사이에서는 b(k)가 그대로여도 실제 Twin·Solo·Empty 상태는 계속 바뀝니다. 타원 위에 소수가 놓인다는 뜻도, 타원으로 소수를 판별한다는 뜻도 아닙니다. 평균적으로 얼마나 희박해지는지를 한 도형에 담은 그림입니다.

### Mertens 곱과 실제 소수 비율 — 같은 차수, 다른 상수

b(k)는 얼마나 빨리 줄어들까요? Mertens 곱 정리에 따르면 y 이하 모든 소수에 대한 ∏(1 − 1/p)는 e^−γ/log y처럼 줄어듭니다(γ는 오일러–마스케로니 상수). b(k)는 2와 3의 인자를 빼므로 그 세 배이고, y = √(6k)이므로 log y = ½ log 6k입니다. 합치면

b(k) ≈ 6e^−γ / log 6k ≈ 3.369 / log 6k

입니다. 한편 소수정리에 따르면 x 이하의 6k±1 후보 가운데 실제로 소수인 비율은 3 / log x에 다가갑니다. 둘 다 1/log로 줄지만 앞에 붙은 상수가 다릅니다. 비는 2e^−γ ≈ 1.123입니다. 원고는 이것을 "어떤 한 정수의 확률을 12% 틀린다"는 뜻으로 읽지 말라고 적습니다. 서로 다른 평균을 같은 것으로 놓았을 때 남는 점근 상수의 차이입니다. 고정한 체의 주기 평균과, 검사 상한이 √x로 함께 커지는 실제 판별은 같은 문장이 아닙니다. 2월의 v5 원고와 v7.14가 b(k)의 상수를 2e^−γ로 적었던 것도 v8에서 6e^−γ로 바로잡혔습니다.

"모든 셀에 소수가 남는다"는 결론도 여기서 나오지 않습니다. b(20)은 양수이지만 k = 20의 두 자리는 모두 합성수입니다. 타원의 높이는 개별 셀의 생존 약속이 아니라 평균적 희박화의 지표입니다.

### 생존자가 다음 소거자가 될 때 — Hawkins 무작위 체

UFoE에게 가장 중요한 질문은 이것입니다. **살아남은 것이 다음 체가 된다**는 재귀가 정말로 1/log의 희박화를 만드는가. 실제 소수에서는 재귀와 나눗셈 산술이 엉켜 있어서 둘을 떼어 볼 수 없습니다. v8.1은 그래서 1957년 Hawkins가 정의한 **무작위 체**를 가져왔습니다.

- 2 이상의 정수에서 시작합니다. 가장 작은 생존자 2를 고르고, 2보다 큰 수를 각각 독립적으로 확률 1/2로 지웁니다.
- 다음 생존자 j를 고르고, j보다 큰 생존 후보를 각각 확률 1/j로 지웁니다.
- 이것을 반복합니다. 지울지 말지는 나눗셈이 아니라 동전 던지기가 정합니다.

여기에는 mod 6 구조가 없습니다. 9가 3의 배수라는 사실도, 25가 5²이라는 사실도 삭제를 정하지 않습니다. 남은 것은 "생존자만 소거자가 된다"는 피드백과 "소거자 n의 강도는 1/n"이라는 두 규칙뿐입니다.

비교를 위해 **대조군**을 둡니다. 대조군에서는 살았든 죽었든 모든 정수 j가 미래 후보를 확률 1/j로 지웁니다. 그러면 정수 n이 자기 차례까지 살아남을 확률은 (1 − 1/2)(1 − 1/3)…(1 − 1/(n−1)) = 1/(n−1)로 깔끔하게 줄어듭니다. 멱함수 꼴의 감쇠입니다.

재귀군에서 작은 경우를 손으로 따라가 보면 이렇습니다. 4가 자기 차례까지 살아남으려면 먼저 2의 삭제를 통과해야 합니다(1/2). 그다음 3이 2의 삭제를 통과해 소거자로 뽑혔다면(1/2) 4는 3의 삭제도 통과해야 하고(2/3), 3이 지워졌다면 4는 그대로 남습니다. 합치면 ½ × (½ × 1 + ½ × ⅔) = 5/12입니다. 5까지 가면 107/288입니다. 이런 정확한 유리수가 v8.1의 평균장 근사식 1/(1 + log x / 2)와 다르다는 것(x = 4에서 근사식은 약 0.59)이, v8.2가 근사를 정확한 확률로 쓴 표현을 거둔 이유입니다.

정확한 결과는 역수의 기대값에서 나옵니다. n까지 처리한 뒤 미래 후보가 통과하는 비율을 Qₙ이라 하면(실행마다 달라지는 무작위 값),

**E[1/Qₙ] = 1 + Hₙ₋₁** (Hₙ₋₁ = 1 + 1/2 + … + 1/(n−1), 조화합)

이 정확히 성립합니다(명제 3.1). 이유가 아름답습니다. 수 n이 소거자로 뽑힐 확률은 그 순간의 통과율 Qₙ₋₁이고, 뽑혔을 때 1/Q가 늘어나는 양은 (1/(n−1)) × (1/Qₙ₋₁)입니다. 두 Q가 정확히 상쇄되어, 매 단계 1/(n−1)씩 더해지는 조화합만 남습니다. 조화합은 log n처럼 자라므로, Jensen 부등식과 분산 항을 이용한 양쪽 경계(명제 3.2)에서 기대 생존율이 1/log n에 점근함이 따라 나옵니다.

| 처리 시점 n | Hawkins 하한 | Hawkins 상한 | 대조군 1/n | 비교 1/log n |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 10² | 0.161881 | 0.175828 | 0.01 | 0.217147 |
| 10⁴ | 0.092700 | 0.097204 | 0.0001 | 0.108574 |
| 10⁶ | 0.064966 | 0.067147 | 10⁻⁶ | 0.072382 |
| 10⁸ | 0.050005 | 0.051288 | 10⁻⁸ | 0.054287 |

같은 강도 1/n을 쓰는데, 모든 수가 소거자인 대조군은 멱함수로, 생존자만 소거자인 재귀군은 로그로 줄어듭니다. **대조군에서 곱이던 것이 재귀군에서는 합이 됩니다.** v8.3과 v8.4가 "곱을 합으로"라고 부른 대비입니다.

### 재귀만으로 로그가 나오지는 않는다

그렇다면 "재귀가 로그를 만든다"고 말해도 될까요? v8.2는 반례를 찾았습니다. 강도를 늘 1/2로 고정하면, 같은 재귀 구조가 이번에는 대조군의 지수 감쇠 2^−(n−1)을 멱함수 1/n 규모로 바꿉니다. 로그는 재귀와 강도 1/n이 **함께** 있을 때 나옵니다.

v8.4는 이것을 일반 강도 dₙ으로 넓혔습니다(명제 3.3). 강도가 0으로 가면서 그 합이 발산하면, 재귀군의 기대 생존율은 대조군 생존율의 로그의 역수와 점근적으로 같아집니다. 말로 하면 "재귀는 생존율에 로그를 한 번 취한다"입니다. 다만 이 말은 그 조건 안에서만 맞습니다.

| 강도 dₙ | 대조군(모두가 소거자) | 재귀군(생존자만 소거자) |
| --- | --- | --- |
| 1/2 (상수) | 2^−(n−1), 지수 감쇠 | 1/n 규모. 조건 밖이라 주항은 같지 않음 |
| 1/n | 1/n, 멱함수 | 1/log n, 로그 |
| 1/(n log n) | C/log n, 로그 | 1/log log n |
| 1/n² | 양의 극한 1/2 | 양의 극한(4/7 이상) |

마지막 줄은 강도가 작다는 것만으로 0으로 가는 감쇠가 보장되지 않는다는 경계 사례입니다. v8.3까지 "재귀는 감쇠를 정확히 한 단계 늦춘다 — 지수는 멱으로, 멱은 로그로"라고 적었던 문장이 v8.4에서 충분조건이 붙은 점근 관계로 좁혀진 이유가 이 표에 있습니다.

원고는 이 결과가 **정의한 모형 안의 명제**라고 거듭 적습니다. Hawkins 모형에는 mod 6 구조가 없고, 모형의 증명이 실제 소수의 로그 밀도의 원인까지 보여 주지는 않습니다. 실제 소수, 고정 체의 곱, 무작위 체의 기대값은 같은 로그 차수를 공유하지만 서로 다른 대상입니다.

### 같은 소수는 두 자리를 함께 지울 수 없다

이제 실제 소수로 돌아옵니다. 5 이상의 소수 p가 6k−1을 나누는 k는 p로 나눈 나머지 가운데 하나이고, 6k+1을 나누는 k도 하나입니다. 이 둘은 서로 다릅니다. 같다면 p가 두 수의 차이 2를 나누어야 하기 때문입니다.

그래서 소수 p 하나를 통과하는 비율은 각 줄에서 1 − 1/p이지만, 두 자리가 **함께** 통과하는 비율은 1 − 2/p입니다. 두 자리가 독립이라면 (1 − 1/p)²이어야 합니다. 5만 체에 넣으면 각 줄의 생존율은 4/5, 함께 생존은 3/5입니다. 네 상태의 비율은 Twin 3/5, Solo Up 1/5, Solo Down 1/5, Empty 0입니다. 5 하나로는 Empty가 생길 수 없습니다. 두 줄의 평균은 정확히 같지만, 둘은 독립이 아닙니다. **대칭과 독립성은 같은 말이 아닙니다.**

독립 기준 대비 동시 생존의 비를 κ라 하면, 체를 키울수록 κ는 정확한 유한 곱으로 계산되고 그 극한은 4C₂/3 ≈ 0.880216입니다(C₂는 쌍둥이 소수 상수). 원고는 κ가 피어슨 상관계수가 아니라고 적습니다. 상관계수는 희박화와 함께 0으로 가지만, 독립 기준 대비 비는 0.88 근처에 머물 수 있습니다. 또 무엇과 비교하느냐에 따라 같은 예측의 계수가 달라집니다. 아무 조건 없는 두 정수와 비교하면, 2 떨어진 두 수가 함께 소수일 확률은 독립일 때보다 2C₂ ≈ 1.32배로 오히려 높습니다. 둘 다 홀수라는 점이 이미 유리하기 때문입니다. 그러나 2와 3을 이미 통과한 6k 셀 안의 두 후보끼리 비교하면, 그 유리함은 이미 반영되어 있고 같은 소수가 두 자리를 함께 지울 수 없다는 제약만 남아 비가 4C₂/3 ≈ 0.88배로 낮아집니다. 같은 사실을 다른 기준에서 본 두 숫자입니다. 그래서 원고는 "소수들이 서로를 12% 억제한다"는 인과적 해석을 하지 않습니다.

### 비대칭의 세 장부

10⁸ 이하에서 아래 줄(6k−1)의 소수는 2,880,936개, 위 줄(6k+1)은 2,880,517개입니다. 차이는 419입니다. 이 차이를 원고는 세 가지 방식으로 장부에 적습니다.

**첫째 장부 — 검사 경계.** 두 후보를 같은 상한 √(6k)까지의 소수로 검사하면, 아래 후보는 언제나 정확히 판별됩니다. 위 후보는 단 한 경우에만 합성수가 검사를 빠져나갑니다. 6k+1이 소수의 제곱 p²일 때입니다(명제 4.1). k ≤ 5,000에서 이렇게 빠져나가는 합성수는 위 줄에 38개이고, 모두 5², 7², 11², …, 173²입니다. 아래 줄에는 없습니다. 이 경계항은 검사 설계의 결과이지 편향 전체의 부호를 보여 주지는 않습니다. 상한을 6k+1로 높이면 누락은 사라지지만 실제 소수 차이는 그대로입니다.

**둘째 장부 — 최소 소인수별 소거 원장.** 각 합성수를 그것을 처음 지운 소수, 곧 최소 소인수에 한 번만 귀속시킵니다. 35는 5와 7 양쪽에 세지 않고 5에만 적습니다. 두 줄의 후보 수가 같으므로 소수 개수의 차이는 "위 줄에서 지워진 합성수 − 아래 줄에서 지워진 합성수"와 같고, 이것은 다시 **소수 제곱의 개수 + 제곱이 아닌 나머지의 순기여**로 나뉩니다.

| 최소 소인수 p | 위 줄 신규 소거 | 아래 줄 신규 소거 | 차이 | 제곱 제외 차이 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 5 | 33,333 | 33,333 | 0 | −1 |
| 7 | 19,047 | 19,047 | 0 | −1 |
| 11 | 10,389 | 10,389 | 0 | −1 |
| 13 | 7,990 | 7,993 | −3 | −4 |
| 17 | 5,642 | 5,641 | 1 | 0 |
| 19 | 4,750 | 4,752 | −2 | −3 |
| 29 | 2,825 | 2,821 | 4 | 3 |
| 37 | 2,064 | 2,072 | −8 | −9 |

(K = 166,666, 곧 999,997까지의 원장 일부. 원고 표 8.)

5의 제곱 25는 위 줄에 있지만, 5가 지운 나머지 합성수들의 순기여가 −1이어서 5 단계의 총차이는 0입니다. 단계마다 순기여는 양수도, 0도, 음수도 됩니다. 100만 근처에서 전체를 합하면 아래 줄 39,265개, 위 줄 39,231개로 차이는 34이고, 이것은 **34 = 166 − 132**로 적힙니다. 166은 5²부터 997²까지 소수 제곱의 개수이고, −132는 제곱이 아닌 모든 합성수의 순기여입니다. 10⁸ 근처(99,999,997까지)에서는 **419 = 1,227 − 808**입니다. 최소 소인수 원장을 실제로 다 쌓은 것은 999,997까지이고, 10⁸의 값은 따로 검산한 소수·제곱 개수와 이 항등식으로 얻었습니다.

**셋째 장부 — 소수 거듭제곱의 가중합.** 6과 서로소인 수에 6k+1이면 +1, 6k−1이면 −1인 부호를 주고, 소수의 m제곱에는 1/m의 가중치를 줍니다. 이렇게 하면 차이는 "제곱 기준항(√x 이하이면서 5 이상인 소수 개수의 절반) − 가중합 + 고차항"이라는 유한 항등식으로 나뉩니다. 10⁸에서는 419 = 613.5 − 200.84… + 6.34…입니다. 둘째 장부의 1,227과 여기의 613.5는 같은 제곱을 다른 가중치(1개 대 1/2개)로 센 값이어서 섞으면 안 됩니다. 이 가중합은 오일러 곱의 로그를 통해 mod 3의 디리클레 L 함수와 이어집니다. 총량의 요동이 제타함수와 이어지는 것과 같은 방식이고, 두 함수의 영점 목록은 다릅니다.

v8.4 에필로그는 이 장부를 이렇게 정리합니다.

> "두 줄에 제곱이 한쪽으로 몰리는 모습도 처음에는 그 자체가 답처럼 보였다. 그러나 실제 소수의 차이를 세어 보면 그 제곱의 기여를 다른 합성수들이 상당 부분 상쇄한다. 제곱이 중요하지 않았던 것이 아니다. 제곱과 나머지를 함께 기록해야 더 많은 것을 설명할 수 있었던 것이다."
> — 6k 좌표계 v8.4, 에필로그

### UFoE의 자리에서 읽기

에라토스테네스의 체는 UFoE의 [세 원리](/ko/glossary/#three-principles) 가운데 ③ "소거를 견딘 것만 다음으로 남는다"를 가장 깨끗하게 보여 줍니다. 그리고 "남은 것이 다음 층위의 조건이 되어 ①로 돌아간다"는 재귀가 여기서는 정의 그대로 작동합니다. 살아남은 2가 체가 되고, 그 체를 통과한 3이 다시 체가 되고, 5가 다시 체가 됩니다.

그래서 6k 좌표계는 UFoE의 **통제 실험**입니다. 생명이나 문명에서는 체가 무엇인지 수치로 정의하기 어렵습니다. 소수에서는 체가 완전히 정의되어 있고, 시간도 비용도 없습니다. Hawkins 대조 실험은 그 안에서 한 걸음 더 나아가, 재귀 선택(생존자만 소거자)과 산술 구조(나눗셈)를 떼어 놓고 재귀가 무엇을 하는지를 따로 보여 줍니다. 이런 분리는 다른 층위에서는 거의 할 수 없습니다.

v8.4(6k_v84 판)는 좌표계와 메커니즘의 관계를 이렇게 적었습니다.

> "본체는 메커니즘이고, 좌표계는 그 메커니즘이 만든 첫 관찰 장치이며, 패턴은 그 장치 위의 측정값이다."
> — 6k 좌표계 v8.4, 6.2절

격자의 열 6 → 30 → 210은 체가 소수를 하나씩 편입하며 스스로 만든 것이고, 관찰자가 고르는 것은 어느 층에서 멈추어 좌표를 만들지뿐이라는 뜻입니다. 2와 3까지 처리하면 두 줄, 5까지 처리하면 mod 30의 여덟 줄, 7까지 처리하면 mod 210의 마흔여덟 줄이 남습니다. 6의 장점은 유일함이 아니라 단순함입니다. 두 자리의 상태가 네 가지로 닫히기 때문입니다.

이 꼴은 여러 패턴과 이어집니다. 가운데를 비우고 두 줄을 대칭으로 펼친 배치는 [① 텅빈 중심·경계·전이지대](/ko/gam/pattern-1/)를, 6 → 30 → 210으로 정교해지는 격자는 [④ 레이어드 계층성](/ko/gam/pattern-4/)을, 1/log로 줄어드는 밀도는 [⑥ 숫자 구조](/ko/gam/pattern-6/)를 보여 줍니다. ⑥에는 정정이 필요합니다. 소수의 밀도는 멱함수가 아니라 1/log로 줄어듭니다. 같은 재귀 구조가 강도에 따라 로그도, 멱함수도 만든다는 위의 표가 "숫자의 꼴은 층위와 조건마다 다르다"는 쪽을 받쳐 줍니다.

## 리 — 무엇과 이어지는가

### 같은 자료의 다른 읽기 — mod 3, mod 4, mod 6

같은 셀 자료에서 다른 나머지의 경주도 읽을 수 있습니다. mod 3의 차이는 mod 6의 차이에 소수 2 하나를 더한 값입니다(D₃ = D₆ + 1). 개수 하나 차이지만 "처음 역전되는 자리"의 정의를 바꿀 수 있어, mod 3의 기록을 mod 6에 그대로 옮기지 않습니다.

mod 4는 더 흥미롭습니다. k가 짝수이면 6k−1은 4로 나눈 나머지가 3이고 6k+1은 1입니다. k가 홀수이면 반대입니다. 그래서 mod 4의 차이는 **같은 A를 부호를 번갈아 더한 값**입니다.

- mod 6의 차이 = A₁ + A₂ + A₃ + … + A_K
- mod 4의 차이 = 1 + (−A₁ + A₂ − A₃ + … ) (앞의 1은 소수 3의 몫)

위의 k = 1 ~ 10 예에서 A의 교대합은 0이므로 61까지 mod 4의 차이는 1입니다. 실제로 61 이하에서 4로 나눈 나머지가 3인 소수는 9개, 1인 소수는 8개입니다. 같은 셀의 비대칭을 그냥 더하면 mod 6, 번갈아 더하면 mod 4가 됩니다. 10⁸까지 mod 6의 차이는 음수가 된 적이 없지만, 같은 범위에서 mod 4의 차이는 부호가 124번 바뀌었고 처음 음수가 된 곳은 26,861이었습니다. v7은 mod 4의 교대를 사인 곡선으로 그렸는데, v8은 보간선의 모양을 실제 경주와 같은 것으로 보지 않고 이 가중합으로 바꾸었습니다.

### 소수 간격 = 빈 셀의 수 + 양 끝의 줄

연속한 두 소수가 다른 셀에 있고 그 사이에 Empty 셀이 r개 있으면, 간격은 6r + 4, 6r + 6, 6r + 8 가운데 하나입니다. 어느 것인지는 시작 소수와 끝 소수가 어느 줄에 있는지가 정합니다.

| 연속 소수 | 셀 | 끝점의 줄 | 간격 |
| --- | --- | --- | --- |
| 7, 11 | k = 1, 2 | 위 → 아래 | 4 |
| 23, 29 | k = 4, 5 | 아래 → 아래 | 6 |
| 89, 97 | k = 15, 16 | 아래 → 위 | 8 |

세 쌍 모두 사이의 Empty는 0개입니다. 그래서 Empty의 개수만으로는 간격을 복원할 수 없고 양 끝의 부호가 필요합니다. v7이 "Empty 연속 길이가 소수 간격의 구조적 원인"이라고 적은 것을 v8이 "격자 거리와 끝점 부호의 항등식"으로 고친 이유입니다.

### jumping champion — 일치이지 도출이 아니다

가장 자주 나타나는 연속 소수 간격을 jumping champion이라 부릅니다. Odlyzko–Rubinstein–Wolf(1999)는 이 챔피언이 작은 수에서 2와 4를 거쳐 6이 되고, 이후 30, 210, 2310처럼 작은 소수들의 곱(primorial)의 열을 따를 것이라고 추측했습니다. 이전 원고가 인용한 6에서 30으로의 전환 규모는 약 1.7 × 10³⁵입니다. Goldston–Ledoan(2011)은 Hardy–Littlewood 소수 튜플 추측 아래에서 이 문제를 다루었습니다.

챔피언의 열이 6k 좌표계의 격자 열 6 → 30 → 210과 같다는 것은 눈길을 끕니다. v8.4는 그 산술적 바탕 하나를 직접 계산합니다. 간격이 새 소수 p를 인수로 가지면, 그 소수가 금지하는 자리 두 개가 하나로 겹쳐 함께 살아남는 비율이 (p−1)/(p−2)배 높아집니다. 같은 고정 체에서 간격 30은 간격 6보다 4/3배, 간격 210은 간격 30보다 6/5배 함께 살아남기 쉽습니다. 그러나 이것은 두 후보가 함께 소수일 비율이지, 둘 사이에 다른 소수가 없다는 연속 조건은 담고 있지 않습니다. 원고는 "소수가 격자에 편입되는 순서가 곧 챔피언의 전환 순서"라는 결론을 여기서 끌어내지 않고, 발표된 추측과의 **일치**로만 적습니다. 1.7 × 10³⁵도 검증된 전환점이 아니라 이전 원고가 보고한 예측값으로 남겼습니다.

### 리만 가설, 콜라츠, primitive set — 같은 화면, 다른 연결

v7이 일곱 현상을 한 화면에 놓았던 것을 v8은 버리지 않고, 연결의 **종류**를 나누어 다시 적었습니다. 6k_v84 판 5.7절의 말로는 "화면은 증명이 아니라 관찰의 도구"이고, 달라진 것은 화면이 아니라 그 화면을 읽는 방법입니다.

- **총량의 요동과 제타함수.** π(x) − li(x)의 요동은 명시적 공식을 통해 제타함수의 영점과 이어집니다. 두 줄의 차이는 mod 3의 L 함수와 이어집니다. 영점 기둥을 세울 때 두 목록을 섞지 않고, 임계선 위의 영점만 골라 넣은 화면을 모든 영점이 임계선에 있다는 증거처럼 쓰지 않습니다.
- **콜라츠.** 3n + 1은 3으로 나눈 나머지가 늘 1이어서, 첫 홀수 단계 이후에는 6의 배수가 다시 나타나지 않습니다. 출발점 n₀ = 2ᵃ·m(m 홀수)에서 6의 배수를 지나는 횟수는 3이 m을 나누면 정확히 a번, 아니면 0번입니다. 예를 들어 48 → 24 → 12 → 6 → 3 → 10은 6의 배수를 네 번 지난 뒤 영원히 떠납니다. 홀수에서 다음 홀수로 갈 때 위 줄에 놓일지 아래 줄에 놓일지는 3n+1이 2로 몇 번 나누어지는지의 홀짝이 정합니다. v7은 소수가 중심에서 퍼지는 흐름과 콜라츠가 1로 돌아오는 흐름을 "토러스의 두 흐름"으로 그렸습니다. v8은 그 그림을 표현의 선택으로 두고, 체가 수를 지우는 방식과 콜라츠가 수를 옮기는 방식이 다른 동역학이라고 적습니다.
- **primitive set.** 서로를 나누지 않는 수의 집합(소수 집합이 대표적이지만 {4, 6, 9}도 그렇습니다)의 가중합 문제가 원고에 소개됩니다. b(k)를 한 번 더 수 크기로 나누면 1/(n log n)꼴이 되는데, 이 가중치를 모든 정수에 더하면 발산하고 소수에만 더하면 수렴합니다. 어떤 집합 위에서 더하는지가 결정적이어서, 모양이 닮았다고 같은 문제가 되지는 않습니다. 원고는 2026년의 관련 논문을 소개만 하고 이번 판에서 원문을 대조하지 않았다고 적었습니다.

### 다른 층위에서 같은 자리

- **생명의 누적 선택.** 도킨스의 누적 선택은 부분 성과를 보존하는 체가 설계 없이 구조를 쌓는다고 말합니다. 체는 목표 없이 작은 소수의 배수를 지울 뿐인데 두 줄과 1/log 밀도가 남습니다. 다만 에라토스테네스의 체에는 변이가 없으므로 누적 선택 그 자체는 아닙니다. 6k는 "통과한 것이 다음 체가 된다"는 누적의 한 면을 체가 완전히 정의된 상태에서 보여 줍니다.
- **니치 구성.** 생물이 바꾼 환경이 다시 선택의 체가 된다는 니치 구성 이론은 "생존자가 다음 소거자가 된다"와 같은 피드백의 후보입니다. Hawkins 대조 실험처럼 재귀가 있을 때와 없을 때를 같은 지표로 비교해 본 적은 아직 없습니다. 층위 사이의 판정은 [리 — 현실의 관찰](/ko/ri/)에 모았습니다.
- **배제된 것의 장부.** 두 줄의 차이를 지워진 합성수의 장부로 분해한 결과(34 = 166 − 132)는 [⑧ 토러스·공생·홍익·황금률](/ko/gam/pattern-8/)과 [가족](/ko/geon/family/)에서 "배제된 것은 결과의 모양에 남는다"는 관찰과 나란히 놓였습니다. 6k에서는 계산이고, 다른 쪽은 아직 측정이 아닙니다.
- **AI의 경계.** [AI를 위한 세 원칙](/ko/principles-for-ai/)이 말하는 "무엇을 남길지 고르는 체의 마지막 자리"는 6k에서 소거자가 놓이는 자리와 같은 질문입니다. 누가 다음 체가 되는가를 정하는 일입니다.
- **판정의 기준점.** [Seed OS](/ko/geon/seed-os/)는 비어 있는 중심과 경계를 설계로 옮긴 시도이고, [경제학](/ko/geon/economics/)과 [힘](/ko/geon/forces/)은 같은 틀을 사회와 물리에 대어 본 결과입니다. 그 페이지들과 비교하면 6k의 판정이 왜 가장 단단한지 보입니다. 체가 숫자로 정의되어 있기 때문입니다.

## 건 — 무엇이 근거인가

아래 수치는 리틀우드·Bays–Hudson의 문헌값을 빼고 모두 6k 좌표계 v8.4 원고에서 확인했습니다. 소수 계수는 10⁸까지 실제 체로 센 값이고(원고의 계산 기록 [C1]), 일반 강도 명제와 간격 비교는 별도의 유한 검산 [C3]으로 확인되었습니다.

### 좌표계와 체

**후보 공간.** 5 이상의 소수는 모두 6k±1에 놓이고, 후보 공간의 밀도는 1/3입니다. 이것은 교과서의 사실입니다. 정의된 체가 6k±1의 두 줄과 1/log의 밀도를 남긴다는 것은 체의 작동 방식까지 재현되는 관찰입니다. [상태: 확인됨]

**격자의 층.** 6 → 30 → 210 격자는 살아남은 소수가 다음 층의 소거자가 되는 구조를 체가 완전히 정의된 상태에서 보여 줍니다. [판정: 같은 역학 · 상태: 확인됨]

**네 상태의 개수.** 10⁸ 이하의 완전한 셀 16,666,666개 가운데 Twin 440,311, Solo Up 2,440,206, Solo Down 2,440,625, Empty 11,345,524입니다. Solo Down과 Solo Up의 차이가 정확히 419입니다. 셀의 약 68%가 이미 비어 있고, 셀 수에 대한 Empty의 비율은 1로 갑니다. Twin의 비율도 0으로 가지만, 비율이 0으로 간다는 사실만으로 Twin이 유한한지 무한한지는 정해지지 않습니다. [상태: 확인됨]

**위 자리의 소수 비율.** 중심 6k가 N/2와 N 사이인 셀에서 위 자리가 소수인 비율은 N = 10⁶, 10⁷, 10⁸에서 0.221977, 0.189605, 0.165604였고, 소수정리의 중심 근사 3/log(0.75N)은 0.221765, 0.189509, 0.165444였습니다.

**체의 곱과 실제 비율.** Mertens 곱 정리에 따라 b(k) ≈ 6e^−γ/log 6k이고, 실제 후보 중 소수 비율은 3/log x에 점근합니다. 두 주항의 비는 2e^−γ ≈ 1.12292입니다. 둘은 같은 차수의 다른 양입니다.

### 재귀와 로그

**Hawkins 모형의 정확한 결과.** 생존자만 소거자가 되고 강도가 1/n이면 E[1/Qₙ] = 1 + Hₙ₋₁이 정확히 성립하고, 기대 생존율은 1/log n과 점근적으로 같습니다. 강도가 0으로 가고 그 합이 발산하는 일반 강도에서는 재귀군의 기대 생존율이 대조군 생존율의 로그의 역수와 점근적으로 같습니다. 정의한 모형 안에서 보인 명제입니다. [상태: 확인됨]

**그 재귀가 실제 소수의 로그 밀도의 원인이라는 주장.** 모형에는 mod 6 구조가 없고, 모형의 증명이 실제 소수로 자동 이전되지 않습니다. 원고도 이 둘을 같은 로그 차수를 공유하는 비교 대상으로만 둡니다. [판정: 같은 역학 · 상태: 가설]

### 동시 생존

**고정 체의 동시 생존비.** 같은 소수 p는 한 셀의 두 후보를 동시에 지울 수 없어서, 두 자리의 생존은 독립이 아닙니다. 독립 기준 대비 동시 생존비는 정확한 유한 곱이고 그 극한은 4C₂/3 ≈ 0.880216입니다. [상태: 확인됨]

**실제 소수의 동시 생존비.** 실제 소수에서 같은 비를 재면 다음과 같습니다.

| N | Twin 비율 | H–L 근사 | 독립 기준 | 측정 / 독립 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 10⁶ | 0.043248 | 0.043289 | 0.049178 | 0.879424 |
| 10⁷ | 0.031820 | 0.031612 | 0.035963 | 0.884805 |
| 10⁸ | 0.024145 | 0.024093 | 0.027430 | 0.880261 |

이 비가 무한 범위에서 4C₂/3으로 간다는 것은 Hardy–Littlewood형 예측이며, 아직 증명되지 않았습니다. 이 수렴을 증명하면 쌍둥이 소수의 점근식까지 강하게 통제하게 됩니다. [판정: 같은 원리 · 상태: 가설]

### 비대칭

| x | 6k−1 줄 | 6k+1 줄 | 차이 D₆ | D₆ · log x / √x |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 10,000 | 616 | 611 | 5 | 0.460517 |
| 60,000 | 3,041 | 3,014 | 27 | 1.212729 |
| 100,000 | 4,806 | 4,784 | 22 | 0.800955 |
| 1,000,000 | 39,265 | 39,231 | 34 | 0.469727 |
| 10,000,000 | 332,383 | 332,194 | 189 | 0.963331 |
| 100,000,000 | 2,880,936 | 2,880,517 | 419 | 0.771827 |

**장부의 분해.** 34 = 166 − 132(100만), 419 = 1,227 − 808(10⁸), 419 = 613.5 − 200.84… + 6.34…(가중 장부). 설명은 위 "비대칭의 세 장부"에 있습니다. 모두 정의를 재배열한 항등식이며 리만 가설을 가정하지 않습니다. [상태: 확인됨]

**D₆가 음수가 된 적이 없는가.** 10⁸ 이하의 모든 소수 사건을 순서대로 검사했을 때 D₆는 음수가 되지 않았습니다(7, 13, 19 등에서는 0). 단조증가하지도 않습니다. 유한한 범위의 측정입니다. [상태: 확인됨] 이 관찰이 큰 수에서도 계속된다는 뜻은 아닙니다. 리틀우드(1914)는 이런 차이의 부호가 무한히 여러 번 바뀐다는 것을 보였고, 6k+1 줄이 처음 앞서는 곳은 x = 608,981,813,029입니다(Bays·Hudson, 1978)(원고에는 없는 값으로, 이 사이트가 덧붙인 문헌값이며 기억에 기댄 서지입니다). 10⁸ 이하에서 D₆가 음수가 되지 않는 것은 체비쇼프 편향이라 불리는 잘 알려진 현상의 유한한 모습입니다. v7이 적은 "D(x)/√x가 +0.06 부근에서 진동하며 한 번도 부호를 바꾸지 않는다"는 관찰도 제한된 구간의 기술 통계이며, 보편 상수나 영구적인 양수로 읽지 않습니다.

**mod 4.** 10⁸까지 부호 변화 124번, 처음 음수 26,861(설명은 위 "mod 3, mod 4, mod 6"). [상태: 확인됨]

### 총량의 요동

π(60,000) = 6,057이고 π(x) − li(x)는 x = 60,000에서 약 −25.85입니다. 이때 √x/log x는 약 22.26이어서, v7이 그린 ±√x/log x "포락선"은 이 범위에서 이미 요동을 감싸지 못합니다. 100 ≤ x ≤ 60,000의 모든 정수를 검사했을 때 |π(x) − li(x)|의 최대는 x = 55,602의 약 42.73이었습니다. [상태: 확인됨] 비교할 수 있는 상계로는 리만 가설을 가정할 때 x ≥ 2,657에서 성립하는 Schoenfeld의 √x·log x/(8π)가 있고, x = 60,000에서 약 107.23입니다. 이 상계는 조건부이고, 측정값과 지위가 다른 선입니다.

### 간격과 챔피언

**간격 항등식.** 위 "소수 간격 = 빈 셀의 수 + 양 끝의 줄"의 항등식은 10⁸ 이하의 인접 소수 전체로 검산되었습니다. [상태: 확인됨]

**jumping champion.** 챔피언 간격이 6에서 30, 210으로 옮겨 간다는 Odlyzko–Rubinstein–Wolf의 추측은 이 격자의 열과 일치합니다. 추측 자체가 미증명이고 원고도 도출이 아닌 일치로 적었습니다. [판정: 같은 모양 · 상태: 가설]

### 철회한 주장

원고는 고칠 때마다 무엇을 거두었는지와 그 이유를 적었습니다. 이 목록은 UFoE의 판정 기준이 실제로 작동한 기록입니다.

1. **자유도 0(v7) — 철회.** 2와 3까지 처리하면 두 줄은 산술로 정해지지만, 어디서 멈출지, 1을 어디에 둘지, 방향과 거리를 어떻게 할지는 선택입니다. 5까지 처리하면 여덟 줄, 7까지면 마흔여덟 줄이 남습니다. "체의 단계를 정하면 분류는 고정되고, 그 분류를 어떤 기하로 읽을지는 선택"으로 바꾸었습니다.
2. **"소수정리는 이 방정식의 출력이다"(2026년 2월).** 체의 곱과 실제 소수 비율은 상수가 2e^−γ배 다릅니다. 같은 차수를 공유할 뿐 한쪽이 다른 쪽을 낳지 않습니다.
3. **"소거 + 재귀 + 순환 → 멱함수 → GUE"의 사슬.** 소수 밀도는 멱함수가 아니라 로그로 줄고, GUE는 점들 사이의 관계에 관한 통계라 같은 사슬로 묶을 수 없습니다.
4. **프랙탈·카오스의 유비.** 불규칙해 보인다는 사실만으로 프랙탈이나 카오스가 되지 않습니다. 카오스에는 상태공간, 갱신 변환, 민감성 같은 정의가 필요합니다. 별도 에세이로 옮겼습니다.
5. **"타원이 거의 원형이다."** 가장 작은 경우(6k = 12)에서도 반축의 비는 12 : 1입니다.
6. **평균장 근사를 정확한 확률로 쓴 것.** 연속 근사식은 분산을 버린 근사입니다. 4의 생존확률은 정확히 5/12이고 근사식은 약 0.59를 줍니다. 정확한 결과는 기대값의 양쪽 경계로 따로 얻었습니다.
7. **"재귀만으로 로그가 나온다", "재귀는 감쇠를 정확히 한 단계 늦춘다".** 강도가 상수 1/2이면 같은 재귀 구조가 멱함수를 만들고, 강도가 1/n²이면 0으로 가지도 않습니다. 로그는 재귀와 강도 1/n이 함께일 때 나오며, 일반 강도에서는 충분조건이 붙은 점근 관계로만 말합니다.
8. **"두 개의 1/2".** 합성수 검사가 √N에서 끝난다는 사실(지수 1/2)과 리만 가설의 임계선 Re(s) = 1/2은 같은 모양이 다른 역학에서 나온 경우입니다. 앞의 사실에서 뒤의 명제가 나오지 않습니다. [용어집의 "같은 모양"](/ko/glossary/#same-shape)이 이 사례를 예로 듭니다.
9. **"모든 셀에 소수가 남는다."** 체의 곱이 늘 양수라는 것은 평균 지표의 성질입니다. k = 20의 Empty가 반례입니다.
10. **"제곱이 비대칭을 모두 설명한다."** 제곱의 몫 1,227을 다른 합성수들의 −808이 상당 부분 상쇄합니다. 제곱과 나머지를 함께 기록해야 합니다.
11. **"Empty 연속이 소수 간격의 원인"과 ±√x/log x 포락선(v7).** 간격에는 양 끝의 줄이 필요하고, 포락선은 60,000 근처에서 이미 깨집니다.

### 이 사이트가 덧붙이는 비판

- **좌표계는 산술을 새로 만들지 않습니다.** 6k±1은 오래 알려진 사실이고, 원고도 새 난제를 풀었다거나 학술적 최초성을 주장하지 않습니다. 이 좌표계의 실제 성과는 무엇을 같은 단위로 묶어 셀지를 바꾼 것, 그래서 총량·방향·동시 생존을 따로 묻게 하고 그 질문을 식과 검산으로 옮긴 것입니다.
- **"같은 역학"은 아직 모형 안에서만입니다.** UFoE가 가장 기대는 문장, "생존자가 다음 소거자가 되는 재귀가 희박화를 만든다"는 Hawkins 모형 안에서만 보인 상태입니다. 실제 소수와 생명의 층위로 옮기는 것은 둘 다 가설입니다.
- **외부 확인의 한계.** 원고의 수치는 원고 자신의 코드로 계산되었고, 여러 판에서 독립적으로 다시 세었지만 학계의 검토를 거치지 않았습니다. 2026년 외부 논문에 관한 대목은 원고 스스로 원문을 대조하지 않았다고 적었습니다.

## 열린 질문

원고 v8.4의 6.4절이 남긴 다섯 질문입니다. 답이 나오면 원고의 어느 진술이 바뀌는지도 함께 적혀 있습니다.

1. **30k의 여덟 줄.** 한 자리의 밀도는 30/(8 log x)가 되고, 줄 쌍마다 동시 생존비가 다른 행렬이 생깁니다. 6k에서 하나였던 비대칭은 여덟 줄에서 어떤 벡터가 되는가. 답이 나오면 두 줄 모형이 무엇을 단순화했는지 수치로 드러납니다.
2. **소거 원장과 가중 장부의 대응.** 10⁸에서 제곱 이외의 순기여 −808은 어느 소거 단계와 어느 크기 구간에서 생기고, L 함수 영점의 어느 묶음과 대응하는가. 답이 나오면 세 장부가 하나의 장부가 됩니다.
3. **곱을 합으로 바꾸는 원리의 범위.** E[1/Qₙ] = 1 + Σ dⱼ/(1 − dⱼ)는 정수 위의 Hawkins 모형에서 증명되었습니다. 상태공간이 정수가 아니거나 강도가 이력에 따라 달라지는 다른 과정에서도 같은 꼴이 성립하는가. 답이 나오면 재귀적 소거는 소수의 성질이 아니라 한 부류 과정의 성질이 됩니다. UFoE에는 이 질문이 가장 중요합니다.
4. **고정 체 대칭과 움직이는 상한 사이의 균일성.** 부호가 무한히 바뀐다는 것은 리틀우드 이후 알려져 있습니다. 이 질문은 검사 상한이 √(6k)로 함께 움직일 때 실제 경주의 크기까지 내려오는 경계가 있는지, 그리고 6k 좌표계의 장부 분해가 그 부호 변화를 어떻게 읽게 해 주는지를 묻습니다.
5. **Empty 연속의 통계.** Empty가 이어지는 길이의 분포를 Gallagher의 Poisson형 예측과 비교하고, 리만 영점 간격의 GUE 통계와는 다른 대상임을 같은 정규화로 대조하는 실험입니다. 답이 나오면 원연구가 유비로 두었던 GUE가 대조군이 됩니다.

여기에 UFoE 쪽의 질문 하나를 더합니다. **Hawkins 대조 실험을 생물 자료에서 할 수 있는가.** 빈도 의존 선택이나 니치 구성 모형에서 "생존자만 다음 체가 되는 경우"와 "모두가 체에 참여하는 경우"의 감쇠 꼴을 같은 지표로 비교할 수 있다면, 소수 ↔ 생명의 "같은 역학" 후보를 시험할 수 있습니다.

> "우리는 소수를 찾은 것이 아니다. 자기를 지우는 규칙이 자기 자신에게 무한히 적용될 때 어떤 풍경이 펼쳐지는지를 보았을 뿐이다. 그 풍경에서 생존자는 영원히 없어지지 않지만 영원히 희박해진다."
> — 6k 좌표계 v8.4(6k_v84 판), 6.4절 끝

## 출처

- Young Kang, 『6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현』 v8.4 통합 개정판(2026-09-06), `6k_v8.4.docx`. 본문 0–6장, 표 1–12, 부록 A–E, 에필로그, 협업 기록. 이 페이지의 수치와 철회 목록의 기준.
- Young Kang, 『6k 좌표계』 v8.4(2026-09-06), `6k_v84.docx`. 0.1절 한 줄 명제, 3.8.1절 "곱을 합으로", 5.7절 표현 층의 통합, 6.2절, 6.4절 열린 질문.
- Young Kang, 『6k 좌표계』 v7.14 국문(2026-05-11). T자형 배치, 일곱 현상의 정렬.
- 「Prime Galaxy」(2026-02-27), 「Prime Galaxy — Two-Sieve Recursive Elliptic Model」(2026-02-28, v3 2026-03-01, v5).
- 원고의 계산 기록: v8.2 독립 검산(10⁸까지의 소수 체, 고정 주기 합동류, 최소 소인수 원장, 거듭제곱 장부, Hawkins 유리수 계산), v8.3 독립 검산, v8.4 일반 강도·간격 비교 검사.
- UFoE 대구표 — 총론과 각론의 짝(2026-10-09), 통제 실험과 "같은 역학 후보"의 자리.
- 원고가 인용한 표준 문헌: T. M. Apostol, *Introduction to Analytic Number Theory*(1976); H. L. Montgomery·R. C. Vaughan, *Multiplicative Number Theory I*(2007, Mertens 곱 정리); G. H. Hardy·J. E. Littlewood, "Partitio numerorum III," *Acta Mathematica* 44(1923); D. Hawkins, "The random sieve," *Mathematics Magazine* 31(1957); L. Schoenfeld, *Mathematics of Computation* 30(1976); M. Rubinstein·P. Sarnak, "Chebyshev's bias"(1994); A. Odlyzko·M. Rubinstein·M. Wolf, "Jumping champions"(1999); D. A. Goldston·A. H. Ledoan(2011); J. C. Lagarias, "The 3x+1 problem"(1985). 서지는 원고의 참고문헌을 따랐으며 이번에 원문을 다시 대조하지 않았습니다.
- J. E. Littlewood, "Sur la distribution des nombres premiers," *Comptes Rendus* 158 (1914). C. Bays and R. H. Hudson, "On the fluctuations of Littlewood for primes of the form 4n ± 1," *Mathematics of Computation* 32 (1978) 및 같은 저자들의 3n ± 1 계산. 기억에 기댄 서지입니다.

## 원문 (이메일 인증 후 열람)

- 6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_v84.docx) (6k_v84.docx)
- 6k 좌표계 v8.1 초안 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_좌표계_v8_1_초안_국문_260905 복사본.docx)
- 6k 좌표계 — 소거·비대칭·상관관계의 정식화 (6k_coordinates_v8_ko.docx)
- 6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_좌표계_v7_14_국문_260511.docx) (6k_좌표계_v7_14_국문_260511.docx)
- 6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_좌표계_v7_10_국문_260511.docx) (6k_좌표계_v7_10_국문_260511.docx)
- 6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_좌표계_v7_11_국문_260511.docx) (6k_좌표계_v7_11_국문_260511.docx)
- 6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_좌표계_v7_12_국문_260511.docx) (6k_좌표계_v7_12_국문_260511.docx)
- 6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_좌표계_v7_13_국문_260511.docx) (6k_좌표계_v7_13_국문_260511.docx)
- 6k 좌표계 — 소수 분포의 새로운 표현 (6k_좌표계_v7_9_국문_260510.docx) (6k_좌표계_v7_9_국문_260510.docx)
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- The 6k Coordinate System — A New Coordinate Representation of Prime Distribution (6k_coordinate_system_v7_8_EN_260507.docx) (6k_coordinate_system_v7_8_EN_260507.docx)
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